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    在阅读:《鸽巢问题》教学实录与评析  上传:田家顺  点击:700次  上传时间:2021-06-14  

《鸽巢问题》教学实录与评析

草坪小学 熊志豪    评析:田家顺

 

教学内容:人教版小学数学六年级数学广角“鸽巢问题”第一课时。

教学目标:

1.通过数学活动让学生理解鸽巢原理,初步形成数学模型。

2.结合具体的实际问题,通过操作、观察、分析等数学活动,发展学生抽象能力与推理能力。

3.在主动参与数学活动的过程中,让学生切实体会到探索的乐趣,让学生切实体会到数学与生活的紧密结合。

教学重难点:

教学重难点:理解“不管…总有…”“至少”所表达的数学含义,由实践操作转向数学建模以及模型要素的衍伸。

教学流程:

一、游戏设疑,激趣导入

师:老师知道同学们都喜欢魔术。老师今天和大家一起玩个数学魔术?

生:(齐)扑克牌。(课件出示)

师:扑克牌一共4种花色。

生:(齐)黑桃、梅花、红心、方块。

师:老师将一副扑克牌的大王和小王取出,还剩下52张牌。

(课件展示:扑克牌4种花色,随后出示去掉大小王后的所有扑克牌明面图,翻转。本课课件使用希沃白板所提供的软件制作PPT,具有较强的互动功能。)

师:老师想请5位同学上黑板来玩魔术游戏,请听清楚规则:每人随意抽一张,并大声说出花色,老师可以肯定的说:“不管怎么抽,总有一种花色至少有2张牌”。同学们相信吗?

生:(齐)不相信!

5位同学上台抽牌并说花色。

(课件展示结果:3张梅花、1张方片、1张黑桃)

师:出现了什么情况?(指名回答)

生:出现了3张梅花。

师:5张牌中总有一种花色至少有2张,这句话对不?

生:(齐)对。

师:谁来说说理由。

生:刚才梅花有3张,老师说至少2张,当然是对的。

师:你的意思是2张都可以,现在3张,也符合要求。如果出现4张梅花牌,符合要求吗?

生:符合。

师:所以5张牌中总有1种花色至少2张是相同的,还有可能...

生:(对答)更多。

师:这是巧合吗?这里面蕴含了今天要学的数学原理。

(板书课题:鸽巢问题)

【设计意图】运用信息技术的实时互动功能,让学生在黑板上直接翻转扑克牌,经历老师的猜想,学生的操作,结果的比对,让学生理解“至少”是2个或者2个以上。教师一句“是巧合吗?”以及在课堂教学中的停顿与环顾,充分激发学生研究这个问题的兴趣。

二、操作探究,行为反思

师:学习复杂的数学原理我们一般从简单问题入手。

(一)初步尝试,理解论断

(课件出示:把3支铅笔放进2个笔筒里,不管怎么放,总有一个笔筒里至少有2支铅笔)

师:怎么理解上面这句话?

生:每次放都有2支或者以上的铅笔。

师:你把“至少有2支”理解为2支或者2支以上 ,大家说这样理解对吗?

生:对!

师:你说“每次”又是从哪看出来的?

生:“不管怎么放,总有…”

师:你能用自己的话完整的说一次吗?

生:把3支铅笔放进2个笔筒里,不管怎么放,每次都会有一个笔筒里最少有2支铅笔,或者更多。

师:真的是这样的吗?哪位同学上黑板在屏幕上放一放,看到底是一个什么情况。

生:(边操作边说)我把三支铅笔分别放进左边的笔筒里.

:老师把这种放法用一个简洁明了的方式表达。板书:(30

表示一个笔筒放3支铅笔,一个笔筒没有放铅笔。

生:把3支铅笔分别放进右边的笔筒里。

师:这算不算一次呢?(望向全班同学)

生讨论。

生:可以不算,我们只需要知道有一个笔筒里有2支就行,或2支以上(急忙补充),不需要管是哪个笔筒。

师:你有着独到的数学眼光,是的,我们这时候可以不管这个笔筒姓什么,放在前面或者后面。大家请看!即使交换了两个笔筒的位置仍然表示一个笔筒放3支铅笔,一个笔筒没有放铅笔。

师:除开这种放法你还有别的放法吗?

生:先在每个笔筒里各放一支铅笔,再将剩余的一支铅笔放在任意一个笔筒里,所以不管怎么放总有一个笔筒里至少有2支铅笔。

板书:(21

师:你的回答真精彩!像这一类的问题就把它叫做鸽巢问题,这道题中铅笔是鸽子,笔筒是鸽巢,铅笔放入笔筒就相当于鸽子飞进鸽巢。

【设计意图】将研究的数目降低为“32”,一是为是让学生通过这个环节,让学生真正理解“不管…总…”这个条件语句,理解语言环境是对每次摆放的陈述,而不是一次中的任意。二是让学生经历摆放的过程,通过讨论,理解与笔筒的摆放环境无关,让学生由具体的行为变身为数学的抽象,为学生进一步进行研究时减少困惑。

(二)深入操作,引导反思

师:简单的问题难不倒大家,老师把难度加大,你们来挑战一下吧!

课件出示:把4支铅笔放进3个笔筒里,不管怎么放,总有一个笔筒里至少有(    )支铅笔?

师:请同学们默看合作要求完毕后开始小组合作。

(小组讨论,老师巡视,请小组操作演示)

1操作,生2汇报

2:(400)、(310)、(220)、(211),我们组得出的结论是:不管怎么放,总有一个笔筒里至少有2支铅笔。

师:能说具体一点吗?

2(望向老师):……

师:你们摆了几次?

2(恍然大悟):我们摆了4次,4次中都有2只或者2支以上。

师:给同学们圈一圈2只或2支以上的。生操作。

生:第一种放法中是把4支笔放到一个笔筒;第二种放法中放3支笔到一个笔筒,多余的随便放哪个笔筒都一样;第三种放法中有2个笔筒放了2支笔,第四种放法中有1个笔筒放了2支笔。

师:你为了不遗漏,采用了先摆一个,再按排剩余的方法,你的搭配知识学习得非常的好。

师;有没有第5种摆法?

生(齐答):没有。

师:每次摆放的笔筒中,最多的笔筒中最多放了4支笔,最少放了2支笔,都符合“至少有2支铅笔”这个条件,这里的2我们称它为“至少数”。我们可以怎样去找这个至少数?

学生分组讨论。

1:我们可以把每次摆的情况记录下来,再观察,可以从中找到至少数。

师:为你们点赞,用我们刚才的方法,一一列举以后,再圈出来。不错的主意。

2:我们可以把每个笔筒里都摆以后,有一个笔筒里有几个,就是至少数。

师:你说的方法是上面中的哪种方法?

2:第4种。

师:你上来摆一摆这种方法给大家看看。

2上台在投影仪上摆。

师:你能边做边说吗?

2:我先每个笔筒放一个,最后剩下一个,放在哪个笔筒里都是至少数2

师:每个笔筒放一个,用数学语言怎么表达?

2:我把3支笔平均分给3 个笔筒,还剩1支。

师:同学们,你们听到这位同学用数学语言表达的时候,想到了什么?

生:除法。

师:会列式吗?

24÷31(支)……1(支)

     然后112(支)

师:“11”表示什么?

2:商1表示平均每个笔筒放1支铅笔,余数1表示还剩的一支铅笔,1+1=2中的第一个1表示每个笔筒原有的1一支铅笔,第二个1表示剩下的一支铅笔,原有的笔加上剩下的笔就得到至少数2。所以不管怎么放总有一个笔筒至少有2只铅笔。

师表扬:表达得非常清楚。大家都听懂他的意思了吗?

生(齐)听懂了。

师:谁来用自己的话再来说一说。

3:就是把4去笔平均分以后,每个笔筒一个,再加上剩下的这个。

师小结:我们刚才通过讨论,发现找到至少数可以通过先摆后看,也可以用计算的方法来找到至少数。

【设计意图】本环节通过让学生操作,枚举可以摆放的实际情况,真正理解每次摆放的数目中,观察研究的对象是符合条件者,同时让学生在观察与讨论中探究至少数获得的两种方法,让学生通过反思动作,从而进一步成为数学思考,顺理成章的用数学化的方法进行研究。

三、模型赋名,明确要素

(课件出示)鸽巢问题的由来

师:同学们有什么想说的?

1:我知道了鸽巢问题是狄里克雷发现的。

2:鸽巢问题也叫抽屉原理。

大家看大屏幕,鸽子是怎样进巢的?

用课件演示4只鸽子飞进3只笼子的情景,将鸽巢问题具象化。

师:不管鸽子怎样回笼,一定有2只或者以上的鸽子在一个笼子里。我们换换场景,看题。

课件出示:把50个小球放进49个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至少有(    )个小球?

师:这道题中谁是鸽子和谁是巢?

1:小球是鸽子,抽屉是鸽巢。

师:至少就几个小球?

生:2个。

师:说说你的想法?

生:每个抽屉一个,剩1个,不管放哪儿,都有一个抽屉有2个小球。

师:怎么列式?

150÷49=1...111=2,所以不管怎么放总有一个抽屉至少有2个小球。

:我们把这道题中待摆放的50个球叫做鸽子数;49个抽屉叫做鸽巢数。仔细观察两组算式中的鸽子数和鸽巢数的数量关系,你有什么发现?

1:我发现鸽子数比鸽巢数多1

2:我发现当鸽子数比鸽巢数多1时,至少数都是2

师:有其它的放法吗?

生(齐答):有。

师(笑):有许多种,但一定有一个抽屉里不少于2个球。

【设计意图】在学生通过研究,知晓其基本原理以后,出示研究主题,让研究对象与研究内容冠名,赋予图式化理解,成为数学模型,并通过对模型内核的延展,让模型在构建的同时实时与应用建立起联系。

四、解决问题,模型衍伸

我们知道鸽子数与巢数多1时,至少数是2,下面请看题:

(课件出示)5只鸽子飞进了3个鸽笼,总有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。为什么?

师:请同学们用本堂课学到的摆一摆、看一看、算一算的方法,说一说:为什么鸽子数多2的时候,至少数也是2

小组活动。

师:哪一组的同学可以上台来说一说,为什么多2的时候,至少数还是2

1:剩余2个,还可以继续放!每个笔筒里可以继续放。

2:不管剩几个,都可以放在笔筒里,剩的笔比笔筒少。

师:用数学语言说。

生:余数比除数小。还可平均分,每个笔筒分一个。

师:你们用实践的方法证明了这个题。原来当余数不是1的时候,我们也只需要增加1。来,同学们,我们回到我们开始的扑克游戏。

(课件出示题目)取出大小王后,52张扑克牌,每抽取5张扑克牌总有一种花色至少有两张是相同的。

师:谁是鸽子谁是巢?

生:5张扑克牌是鸽子,花色是鸽巢。

师:现在明白为什么老师可以稳赢了吗?

生(会意的笑)

同学们,生活中处处有数学,我们经常看到的现象,经过数学思考,就变成了经典的数学论断,只要我们有数学的眼光,就能演绎精彩。

 

点评:“鸽巢问题”本源于生活中存在的数学事实,常见到我们会当成理所当然,如何将一个数学事实让六年级的学生用数学的眼光去看待,在数学活动反思动作,达到数学抽象效果,从而建立起数学模型,在应用数学模型时将模型元素与相应问题建立起关联,从而形成基本的数学素养,是研究本堂课的重要任务。熊老师作为一个初入职不久的新老师,让学生理解论断、反思动作、模型要素衍伸这些数学活动中,达到一定的教学效果。

一、  由文本理解走向数学理解

“鸽巢问题”是一类较为抽象和艰涩的数学问题。首先难在对于其精炼数学语言的理解。“不管怎样放,总有一个笔筒里至少有2支铅笔。”通常,我们会把“总有”和“至少”这两个关键词进行提炼,让学生说一说学生对这两个词的理解,“总有”解释为“一定有”,“至少”解释为“最少”,这样,就与课堂教学进程中的每个放置过程中的“0”是最少的,产生了混淆,于是,一个本来看来起还是清楚的话语,倒给弄糊涂了。熊老师在在导入环节教学过程中,学生抽扑克牌,出现了3张梅花,通过追问,让学生细细品味,发现至少是2张相同花色,表达的是2张及以上都行,这样就实现了数学意义上的理解,至少是大于或等于2。在第二个环节中,熊老师也没有把“总有”单独拎出来,说“总有”的意思,而是置于语境之下“不管怎样放,总有……”让学生说理解,当学生说“每次都会有”的时候,我觉得学生就真正理解了这句话的意思,表明陈述的是对每次摆放现象的观察与汇总,不是困囿于哪一次摆放现象的描述。学生能把文本阅读上升到数学上的理解,那么本堂课也就成功了一大半,学生后面的观察有聚焦,归纳有方向。

二、由动作自觉走向自觉反思

建构主义认为“数学是行为动作的抽象反省”,这也是“做中学”的理论基础。学生的操作活动,是一种具象的活动,如学生在摆放铅笔的时候,不自觉的给了每个笔筒编号,认为3只铅笔放在第一个中是第1次,放在第二个中为第2次,而在本句论断中,我们是可以不考虑这些笔筒的摆放顺序,随意摆放到一个笔筒都为1次,这就需要对学生的操作行为进行抽象,让学生用数学的眼光去看操作对象——笔筒,在这个环节中,熊老师关注到了学生的动作,并以此引导学生反思动作,培养学生的抽象思维能力。

怎样找到“至少数”?是一个很有意义的问题,直接触发学生学生数学直觉:当每个笔筒里都放了以后,就容易看出至少数是多少。与枚举法中的具体案例(211)相关联,让学生重新审视自己的摆放动作,领悟到这就是我们数学中的“平均分”,将动作数学化,从而实现由枚举到一般的过渡,用直观的方式对某一具体现象进行“就是论事”,并初步感知数学模型。

在练习做一做“第1题”时,让学生回到动作,通过摆笔入筒,反思多个鸽子,为什么至少数还是2。让学生理性与感性相结合,理性思考需要实践去验证,在验证的过程中反思,从而达到理性的升华。

三、由建立模型走向要素衍伸

“抽屉原理”在教材中被命名为“鸽巢问题”,其原因是其模型要素是生命体,使得数学模型不再“冰冷”。因此熊老师在学生初步了解“鸽巢问题”的原理以后,及时通过数学文化知识的熏陶,了解来龙去脉,同时通过动画演示,将数学模型形象化、图式化,数学模型的应用,需要学生能真正认识到问题与数学模型相对应的元素,这也是应用数学模型解决问题的起点,在本堂课 中,熊老师紧紧扣住数学模型的重要元素“鸽子”、“巢”,与实际问题中的要素进行关联,特别是对于玩扑克玩游戏中的所呈现的诸多数据,组织“谁是鸽谁是巢的讨论”,让学生形成要素对应自觉,提高解决问题能力。

 


文章来源:本人原创  审阅:田家顺

 
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